DODATKY

D.1   FUNKCIE  erf(l )  a  erfc(l )

Pri riešení problémov súvisiacich s difúziou častíc sa často vyskytuje funkcia erf(l ), t.j. error function, čo je označenie pre Laplaceov-Gaussov integrál chýb :

(D.1)

erf(l ) je definovaná ako určitý integrál v hraniciach 0 až l (l je argument funkcie). Hodnoty erf(l ) sú určené len premennou l , pričom y je len pomocná premenná v rovnici (D.1).

Keď l ® Y (t.j. nadobúda vysoké hodnoty), funkcia erf(l ) ® 1 (limituje k 1), preto definujeme aj komplementárnu funkciu

(D.2)

Grafické znázornenie funkcie erf(l ) dostaneme, keď vynesieme závislosť (obr. D.1).   Funkcia erf(l ) nadobúda prakticky limitnú hodnotu pre všetky l > 2.


Obr. D.1   
Definícia a priebeh funkcií erf (
l )  a  erfc (l )

Funkciu erf(l ) môžeme vyčísliť pomocou radov. Pre malé hodnoty l v intervale 2 3 l 3 0 je vhodný Maclaurinov rozvoj :

(D.3)

Pre hodnoty l < 0,1 stačí uvažovať lineárnu aproximáciu funkcie na prvý člen:

(l < 0,1) (D.4)

Pre vyššie hodnoty argumentu l > 2 je vhodnejšie použiť nasledovný rozvoj:

(D.5)

Derivácia funkcie erf(l ) podľa Leibnitzovho pravidla:

(D.6)